\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\title{Tema algebra I}
\date{17 decembrie 2007}

\begin{document}
\maketitle
\section{Solutii probleme}
\begin{enumerate}

\item (7) Fie in $\mathbb{R}^4$ vectorii $v_1 = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1
\end{array}\right)^T$, $v_2 = \left(
\begin{array}{ccc}
6 & 1 & 3
\end{array}\right)^T$ $v_3 = \left(
\begin{array}{ccc}
17 & 5 & \alpha
\end{array}\right)^T$ si $v_4 = \left(
\begin{array}{ccc}
5 & 1 & 2
\end{array}\right)^T$, $\alpha \in \mathbb{R}$. Sa se determine $\alpha \in \mathbb{R}$ astfel incat sistemul de vectori $\{v_1, v_2, v_3, v_4\}$ sa fie un sistem de generatori pentru $\mathbb{R}^3$.

\textbf{Solutie:} \\\\
Se observa ca $v_2 = v_1 + v_3$, adica $v_1$, $v_2$ si $v_3$ sunt liniar dependenti si prin urmare este suficient sa gasim $\alpha$ pentru sistemul de generatori $\{v_1, v_3, v_4\}$ al lui $\mathbb{R}^3$. Cum $\mathbb{R}^3$ este un spatiu vectorial de dimensiune 3, rezulta sistemul de generatori de dimensiune 3 considerat este chiar baza. 

$\{v_1, v_3, v_4\}$ este baza, rezulta ca este si un sistem liniar independent. Deci, pentru $a, b, c \in \mathbb{R}$ cu $av_1 + bv_3 + cv_4 = 0$, trebuie obtinut $a = b = c = 0$. 
Sistemul de ecuatii omogen 
\begin{eqnarray*}	
a + 17b + 5c &=& 0 \\
5b + c &=& 0 \\
a + \alpha b + 2c &=& 0
\end{eqnarray*} poate fi rescris ca $Ax = b$, cu $A = \left(
\begin{array}{ccc}
v_1 & v_3 & v_4
\end{array}\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 17 & 5 \\
0 & 5 & 1 \\
1 & \alpha & 2
\end{array}\right)$, $b = \left(
\begin{array}{ccc}
a & b & c 
\end{array}\right)^T$ si $b = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0
\end{array}\right)^T$. Pentru ca solutia banala $a = b = c = 0$ sa fie unica, trebuie ca $det(A) \neq 0 \Longleftrightarrow 2 - \alpha \neq 0 \Longleftrightarrow \alpha \neq 2$. \\ 
Solutia este $\alpha \in \mathbb{R} \backslash \{2\}$.
\end{enumerate}

\end{document}
